lunes, 19 de septiembre de 2011

Proceso

  • Elementos de la circunferencia

    Secantes, cuerdas y tangentes.
    La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
    Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
    • Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
    • Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
    • Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
    • Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
    • Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
    • Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
    • Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
    • Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
    • Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Ecuación en coordenadas cartesianas
Circle center a b radius r.svg
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + y^2 = r^2\,.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,
se deduce:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,
resultando:
a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,
la ecuación de la circunferencia es:
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

[editar] Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \,. Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi). Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

[editar] Ecuación en coordenadas polares

Unit circle.svg
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:
r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

[editar] Ecuación en coordenadas paramétricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]
y con funciones racionales como
x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty

[editar] Área

Artículo principal: Área de un círculo
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = \pi \cdot r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}.
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2
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