FERIA DE INFORMATICA 2011

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
- Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
- Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
- Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
- Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
- Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
- Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
- Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
- Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
- Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

$x^2 + y^2 = r^2\,$ .

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

$(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,$

se deduce:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,$

resultando:

$a = -\frac{D}{2}$

$b = -\frac{E}{2}$

$r = \sqrt{a^2 + b^2-F}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,$ ,
la ecuación de la circunferencia es:

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

[editar] Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: $\vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \,$ . Donde $\theta \,$ es el parámetro de la curva, además cabe destacar que $\theta\in[0,2\pi)$ . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

[editar] Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como $(r,\theta) \,$

$r=c. \,$

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto $(s,\alpha) \,$ y el radio es $c \,$ , la ecuación se transforma en:

$r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2$

[editar] Ecuación en coordenadas paramétricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

$x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]$

y con funciones racionales como

$x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty$

[editar] Área

Artículo principal: Área de un círculo

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$A = \pi \cdot r^2$

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: $A = \frac{p \cdot a}{2}$ .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

$A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2$

lunes, 19 de septiembre de 2011

Objetivos

Introduccion

Objetivos

Marco Teòrico Referencial

Proceso

Elementos de la circunferencia

[editar] Ecuación vectorial de la circunferencia

[editar] Ecuación en coordenadas polares

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[editar] Área

Conclusiones

Bibliografia